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Sistemas de Numeración Base “n”
Introducción
La importancia del sistema decimal radica en que se utiliza universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital. Es decir que habrá situaciones en las cuales los valores decimales tengan que convenirse en valores binarios antes de que se introduzcan en sistema digital. Entonces habrá situaciones en que los valores binarios de las salidas de un circuito digital tengan que convertir a valores decimales para presentarse al mundo exterior.
Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemas de numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Los sistemas octal (base y hexadecimal (base 16) se usan con el mismo fin, que es ofrecer un eficaz medio de representación de números binarios grandes. Como veremos, ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de que pueden convenirse fácilmente al y del binario.
Sistema de numeración binario
El sistema binario, a diferencia del sistema decimal donde son permitidas 10 cifras, sólo necesita dos (2) cifras el "0" y el "1". Este sistema es de especial importancia en la electrónica digital, donde sólo son posibles dos valores.
Conversión de binario a decimal
El sistema de numeración binario u un sistema de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB. Cualquier número binario puede convenirse a su equivalente decimal, simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga un 1. Por ejemplo:
1 1 1 0 1 12 de binario a decimal
1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 = 6910
Conversión de decimal a binario.-
Existen dos maneras de convenir un número decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario. El primer método es inverso al proceso descrito anteriormente. El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits. Por ejemplo:
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1 7 4
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2
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0
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8 7
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2
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1
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43
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2
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1
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21
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2
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1
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10
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2
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0
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5
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2
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1
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2
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2
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0
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1
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45 = 32 + 8 + 4 + l = 25 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20
Entonces es igual a 1 0 1 1 0 12
Pasar a decimal el binario 101011102
1 0 1 0 1 1 1 0
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0 * 20 =
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0
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1 * 21 =
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2
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1 * 22 =
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4
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1 * 23 =
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8
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0 * 24 =
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0
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1 * 25 =
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32
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0 * 26 =
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0
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1 * 27 =
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128
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174
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101011102 = 17410
CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL
Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:
1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510
101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110
Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:
| Nº Decimal |
Base |
Cociente |
Resto |
| 107 |
2 |
53 |
1 |
| 53 |
2 |
26 |
1 |
| 26 |
2 |
13 |
0 |
| 13 |
2 |
6 |
1 |
| 6 |
2 |
3 |
0 |
| 3 |
2 |
1 |
1 |
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10710= 11010112
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Cuando tengamos un número con decimales seguiremos el siguiente procedimiento: multiplicaremos por 2 la parte decimal y se toma como dígito binario su parte entera. El proceso se repite con la fracción decimal resultante del paso anterior, hasta obtener una fracción decimal nula, o bien hasta obtener el número de cifras binarias que se desee. Ejemplo: 107,645. Como anteriormente convertimos 107 a binario, el resultado de la conversión quedaría así:
1101011, 101001012
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| Fracción decimal |
Multiplicado por: |
Resultado |
Dígito binario |
| 0,645 |
2 |
1,290 |
1 |
| 0,290 |
2 |
0,580 |
0 |
| 0,580 |
2 |
1,160 |
1 |
| 0.160 |
2 |
0,320 |
0 |
| 0,320 |
2 |
0.64 |
0 |
| 0.64 |
2 |
1.28 |
1 |
| 0.28 |
2 |
0.56 |
0 |
| 0.56 |
2 |
1.12 |
1 |
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| Carácter octal |
Nº binario |
0
1
2
3
4
5
6
7 |
000
001
010
011
100
101
110
111 |
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Ejemplo: 55,358
Resultado: 101 101, 011 1012
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Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversión, agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si no se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que sean necesarios al último grupo, veámoslo con un ejemplo:
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Ejemplo: 11011111,111112
Resultado: 237,768
Observa como ha sido necesario añadir un cero en la última agrupación de la parte entera y otro en la parte fraccionaria para completar los grupos de 3 dígitos.
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| Agrupación |
Equivalente octal |
| 010 |
2 |
| 011 |
3 |
| 111 |
7 |
| , |
, |
| 111 |
7 |
| 110 |
6 |
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CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y DECIMAL
Si la conversión es de octal a decimal se procederá como observas en el ejemplo:
7408= 7.82+4.81+4.80 = 48410
Si la conversión es de decimal a octal se procederá de modo similar a la conversión de decimal a binario, pero dividiendo entre 8. Comprueba los resultados en el siguiente ejemplo:
42610 = 6528
CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y HEXADECIMAL
La conversión entre binario y hexadecimal es igual al de la conversión octal y binario, pero teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar de 4 en 4. La conversión de binario a hexadecimal se realiza según el ejemplo siguiente:
| Sistema binario |
Sistema Hexadecimal |
| 0000 |
0 |
| 0001 |
1 |
| 0010 |
2 |
| 0011 |
3 |
| 0100 |
4 |
| 0101 |
5 |
| 0110 |
6 |
| 0111 |
7 |
| 1000 |
8 |
| 1001 |
9 |
| 1010 |
A |
| 1011 |
B |
| 1100 |
C |
| 1101 |
D |
| 1110 |
E |
| 1111 |
F |
|
Ejemplo: 1011111,1100012
Agrupando obtenemos el siguiente resultado:
0101 1111, 1100 01002
Sustituyendo según la tabla logramos la conversión esperada:
5F, C416
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La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su equivalente en binario, por ejemplo:
69DE16= 0110 1001 1101 11102
CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y BINARIO
Si la conversión es de octal a binario cada cifra se sustituirá por su equivalente binario. Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión de modo más rápido:
<v:imagedata o:title="Image130" src="file:///C:DOCUME~1UsuarioCONFIG~1Tempmsohtml1
HECHO:GARCIA FONSECA LUIS JAVIER
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